Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH LÝ LAGRANGE

A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Định lý 1
Nếu hàm số y =
liên tục trên khoảng (a; b) và có
(hoặc
) trong khoảng (a; b) thì phương trình
có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó.

Ví dụ 1. Giải phương trình
.
Giải
Điều kiện: x > 0.
Xét hàm số
ta có:


Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong
.
Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Định lý 2
Nếu hàm số y =
liên tục trên khoảng (a; b) và có
(hoặc
) trong khoảng (a; b) thì phương trình
có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó.

Ví dụ 2. Giải phương trình
.
Giải
Xét hàm số
ta có :

,
.
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.

Chú ý:
i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c.
ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì
.

Ví dụ 3. Phương trình
có nghiệm duy nhất x = 3.


Ví dụ 4. Giải phương trình
(1).
Giải
Đặt
, ta có :

(2).
Xét hàm số





Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.

Chú ý:
Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng
được.
Chẳng hạn:
và

là sai.

B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE

I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D.
i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu
, ký hiệu:
.
ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu
, ký hiệu:
.

2. Phương pháp giải toán
2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình
(tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]).
Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
Giải
Ta có:

liên tục trên đoạn




.
Vậy
.

Chú ý:
i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu
thay cho
.
ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1.
iii) Có thể đổi biến số
và viết
. Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì
,
.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
.
Giải
Hàm số
liên trên đoạn

Đặt
, ta có:

liên tục trên đoạn [0; 1]

(loại).


Vậy
,
.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Giải
Ta có điều kiện: