1. Cho
. Chứng minh rằng 


 


( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra
đều.
2. Chứng minh với mọi
ta có




( đẳng thức xảy ra 
)
Lại có

Đẳng thức xảy ra
hoặc
.
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Ta có :    
Đặt
.
Khi đó 

Xét hàm số

Suy ra :
.
Vậy
,chẳng hạn khi

      

4. Trong các số thực 
thỏa mãn hệ thức
.
Hãy tìm
để cho biểu thức
 đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đo.




  đạt giá trị lớn nhất






5. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



và đạt dấu "=" khi
thỏa mãn

Hệ này có
hệ có nghiệm
khi
.
Vậy khi

Với
.
Đặt

và đạt dấu = khi
 
Vậy       
     
 
6. Cho
là độ dài trung tuyến,
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
. Chứng minh rằng
.










. Đẳng thức xảy ra
  đều.
7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :


Ta có :

Đặt
Điều kiện :

Ta có :


Thay vào biểu thức của y ta được :


+




đồng biến trên
( vì
).
Vậy

8.
  là 2 nghiệm của phương trình:

Với giá trị nào của
thì biểu thức
đạt giá trị lớn nhất .



Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Ta có :

Khi đó :
Vì
nên

Do đó 
Vậy
, khi
.
9. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
với

Đặt
thì


. Khi đó :


Xét

Ta có :

Xét bảng biến thiên:  

10. Cho
là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:



Do giả thiết







(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

11. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:









Vậy GTNN của P là
. Dấu =

12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 



Đặt

  với
.

.
- Nếu
nghịch biến trong


.
- Nếu
 đồng biến tròn



- Nếu
 thì có bbt
Vậy


Kết luận
           
.

13. Giả sử
là hai số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
.



Giá trị
  đạt được khi

 
Vậy

14. Chứng minh:
ta có:

Nhận xét:




Dấu “
” xảy ra

15. Cho 3 số dương
thoả mãn
Chứng minh:

Ta có:







16. Chứng minh

Ta có:



BĐT đã cho đúng, “
” xảy ra

17. Cho
. Chứng minh

Ta có:



 
bất đẳng thức đã cho đúng, dấu “
” xảy ra

18. Chứng minh  




Dấu
xảy ra

19 Chứng minh rằng  
 
Ta có:



Dấu
xảy ra

20. Chứng minh rằng với mọi số dương
ta luôn có bất đẳng thức


Vì



Tương tự:


Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn :

(đpcm).
Đẳng thức xảy ra
.

21. Cho
thoả mãn 
Chứng minh:

 Từ giả thiết suy ra:




*) Xét

Ta có:



Mà
nên
là nghiệm của phương trình






*) Trường hợp:




Mà
là nghiệm của phương trình:






Từ

Tương tự cho 
,  ta có:

22. Cho 3 số

thoả mãn
Chứng minh:

Từ
Kết hợp

mà
nên
là 2 nghiệm của phương trình



Tương tự cho 


23. Cho 3 số thực
thoả mãn các điều kiện sau:
.  Chứng minh